Løs 6x^2-5x-21=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-21=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 6x^{2}+ax+bx-21. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=6\left(-21\right)=-126$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-14 b=9$$

Omskriv 6x^{2}-5x-21 som \left(6x^{2}-14x\right)+\left(9x-21\right).

$$\left(6x^{2}-14x\right)+\left(9x-21\right)$$

Ud2x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$2x\left(3x-7\right)+3\left(3x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Løs 3x-7=0 og 2x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-5x-21=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -5 med b og -21 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-21\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-21\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-21\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -21.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 6}$$

Adder 25 til 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 6}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{5±23}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±23}{12} når ± er plus. Adder 5 til 23.

$$x=\frac{28}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{28}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{7}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±23}{12} når ± er minus. Subtraher 23 fra 5.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-5x-21=0$$

Adder 21 på begge sider af ligningen.

$$6x^{2}-5x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Hvis -21 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-21\right)$$

Subtraher -21 fra 0.

$$6x^{2}-5x=21$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{21}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{21}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{21}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{7}{2}$$

Divider -\frac{5}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{7}{2}+\frac{25}{144}$$

Føj \frac{7}{2} til \frac{25}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{529}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{23}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{23}{12}$$

Adder \frac{5}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{3}{2}$$