Løs 6x^2-5x-12=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-12 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{313} + 5}{12} \approx 1,890983834$$

$$x=\frac{5-\sqrt{313}}{12}\approx -1,057650501$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-5x-12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -5 med b og -12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+288}}{2\times 6}$$

Adder 25 til 288.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{313}}{2\times 6}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{313}}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{5±\sqrt{313}}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{313}}{12} når ± er plus. Adder 5 til \sqrt{313}.

$$x=\frac{\sqrt{313}+5}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{313}}{12} når ± er minus. Subtraher \sqrt{313} fra 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{313}}{12}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{313}+5}{12} x=\frac{5-\sqrt{313}}{12}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-5x-12=0$$

Adder 12 på begge sider af ligningen.

$$6x^{2}-5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Hvis -12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-12\right)$$

Subtraher -12 fra 0.

$$6x^{2}-5x=12$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{12}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{12}{6}$$

Divider 12 med 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=2$$

Divider -\frac{5}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=2+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=2+\frac{25}{144}$$

Adder 2 til \frac{25}{144}.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{313}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{313}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{313}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{\sqrt{313}}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{\sqrt{313}}{12}$$

Adder \frac{5}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{313}+5}{12} x=\frac{5-\sqrt{313}}{12}$$