Løs 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 6x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -6.

$$1,-6 2,-3$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-6 b=1$$

Omskriv 6x^{2}-5x-1 som \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser 6x i 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Løs x-1=0 og 6x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -5 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Adder 25 til 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±7}{12} når ± er plus. Adder 5 til 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Divider 12 med 12.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±7}{12} når ± er minus. Subtraher 7 fra 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Divider -\frac{5}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Føj \frac{1}{6} til \frac{25}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Adder \frac{5}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$