Løs 6x^2-4x-3=0

$$6 { x }^{ 2 } -4x-3=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}\approx 1,115069293$$

$$x=-\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}\approx -0,448402627$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-4x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -4 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 6}$$

Adder 16 til 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 88.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 6}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{22}}{12} når ± er plus. Adder 4 til 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{12}$$

Divider 4+2\sqrt{22} med 12.

$$x=\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{22}}{12} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{22} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{12}$$

Divider 4-2\sqrt{22} med 12.

$$x=-\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-4x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$6x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$6x^{2}-4x=3$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-4x}{6}=\frac{3}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{6}\right)x=\frac{3}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{3}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{3}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{2}+\frac{1}{9}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{1}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{11}{18}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{11}{18}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{18}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{22}}{6} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{22}}{6}$$

Adder \frac{1}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}$$