Løs 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 6x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=-3 b=10$$

Omskriv 6x^{2}+7x-5 som \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Ud3x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Løs 2x-1=0 og 3x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, 7 med b og -5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Adder 49 til 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±13}{12} når ± er plus. Adder -7 til 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±13}{12} når ± er minus. Subtraher 13 fra -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-20}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Hvis -5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Subtraher -5 fra 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Divider \frac{7}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{12}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Føj \frac{5}{6} til \frac{49}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Subtraher \frac{7}{12} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$