Løs 6x^2+120x+2070=0

$$6 { x }^{ 2 } +120x+2070 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-10+7\sqrt{5}i\approx -10+15,652475842i$$

$$x=-7\sqrt{5}i-10\approx -10-15,652475842i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}+120x+2070=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, 120 med b og 2070 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\times 6\times 2070}}{2\times 6}$$

Kvadrér 120.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\times 6\times 2070}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-24\times 2070}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange 2070.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-49680}}{2\times 6}$$

Adder 14400 til -49680.

$$x=\frac{-120±\sqrt{-35280}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af -35280.

$$x=\frac{-120±84\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{-120±84\sqrt{5}i}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-120±84\sqrt{5}i}{12} når ± er plus. Adder -120 til 84i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-120+84\sqrt{5}i}{12}$$

Divider -120+84i\sqrt{5} med 12.

$$x=-10+7\sqrt{5}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-120±84\sqrt{5}i}{12} når ± er minus. Subtraher 84i\sqrt{5} fra -120.

$$x=\frac{-84\sqrt{5}i-120}{12}$$

Divider -120-84i\sqrt{5} med 12.

$$x=-7\sqrt{5}i-10$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-10+7\sqrt{5}i x=-7\sqrt{5}i-10$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}+120x+2070=0$$

Subtraher 2070 fra begge sider af ligningen.

$$6x^{2}+120x+2070-2070=-2070$$

Hvis 2070 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}+120x=-2070$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}+120x}{6}=-\frac{2070}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{120}{6}x=-\frac{2070}{6}$$

Divider 120 med 6.

$$x^{2}+20x=-\frac{2070}{6}$$

Divider -2070 med 6.

$$x^{2}+20x=-345$$

Divider 20, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 10. Adder derefter kvadratet af 10 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-345+10^{2}$$

Kvadrér 10.

$$x^{2}+20x+100=-345+100$$

Adder -345 til 100.

$$x^{2}+20x+100=-245$$

Faktor x^{2}+20x+100. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+10\right)^{2}=-245$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{-245}$$

Forenkling.

$$x+10=7\sqrt{5}i x+10=-7\sqrt{5}i$$

Subtraher 10 fra begge sider af ligningen.

$$x=-10+7\sqrt{5}i x=-7\sqrt{5}i-10$$