Løs 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 6x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Løsningen er det par, der får summen 11.

$$a=2 b=9$$

Omskriv 6x^{2}+11x+3 som \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Ud2x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Løs 3x+1=0 og 2x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, 11 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Kvadrér 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Adder 121 til -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±7}{12} når ± er plus. Adder -11 til 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±7}{12} når ± er minus. Subtraher 7 fra -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-3}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Divider \frac{11}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{11}{12}. Adder derefter kvadratet af \frac{11}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{11}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Føj -\frac{1}{2} til \frac{121}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Subtraher \frac{11}{12} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$