Løs 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0,107142857+0,079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0,107142857-0,079859571i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 56 med a, -12 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

Multiplicer -4 gange 56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

Adder 144 til -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

Tag kvadratroden af -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Multiplicer 2 gange 56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} når ± er plus. Adder 12 til 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

Divider 12+4i\sqrt{5} med 112.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} når ± er minus. Subtraher 4i\sqrt{5} fra 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

Divider 12-4i\sqrt{5} med 112.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$56x^{2}-12x=-1$$

Divider begge sider med 56.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Division med 56 annullerer multiplikationen med 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{56} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

Divider -\frac{3}{14}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{28}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{28} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{28} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

Føj -\frac{1}{56} til \frac{9}{784} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

Adder \frac{3}{28} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$