Løs 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 53 med a, 5 med b, og -12 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Løs ligningen x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} og x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} er positiv og x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} er negativ.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} er positiv og x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} er negativ.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$