Løs 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1,5+2,179449472i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Subtraher 12 fra begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

Hvis 12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Subtraher 12 fra 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 3 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 9 til -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} når ± er plus. Adder -3 til i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Divider -3+i\sqrt{19} med -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{19} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Divider -3-i\sqrt{19} med -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Subtraher 5 fra 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Divider 3 med -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Divider 7 med -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Adder -7 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$