Løs 5y+9y^2-4y^2+6(5y+9)y=-12

$$5 y + 9 y ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } + 6 ( 5 y + 9 ) y = - 12$$

Løs for y

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}\approx -0,236597281$$

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}\approx -1,449117005$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Kombiner 9y^{2} og -4y^{2} for at få 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6 med 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 30y+54 med y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Kombiner 5y^{2} og 30y^{2} for at få 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Kombiner 5y og 54y for at få 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Tilføj 12 på begge sider.

$$59y+35y^{2}+12=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$35y^{2}+59y+12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 35 med a, 59 med b og 12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Kvadrér 59.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Multiplicer -4 gange 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-140\times 12}}{2\times 35}$$

Multiplicer -140 gange 12.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-1680}}{2\times 35}$$

Adder 3481 til -1680.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{2\times 35}$$

Multiplicer 2 gange 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70} når ± er plus. Adder -59 til \sqrt{1801}.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70} når ± er minus. Subtraher \sqrt{1801} fra -59.

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kombiner 9y^{2} og -4y^{2} for at få 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6 med 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 30y+54 med y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Kombiner 5y^{2} og 30y^{2} for at få 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Kombiner 5y og 54y for at få 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$35y^{2}+59y=-12$$

Divider begge sider med 35.

$$\frac{35y^{2}+59y}{35}=-\frac{12}{35}$$

Division med 35 annullerer multiplikationen med 35.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y=-\frac{12}{35}$$

Divider \frac{59}{35}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{59}{70}. Adder derefter kvadratet af \frac{59}{70} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}=-\frac{12}{35}+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{59}{70} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=-\frac{12}{35}+\frac{3481}{4900}$$

Føj -\frac{12}{35} til \frac{3481}{4900} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=\frac{1801}{4900}$$

Faktor y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}=\frac{1801}{4900}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1801}{4900}}$$

Forenkling.

$$y+\frac{59}{70}=\frac{\sqrt{1801}}{70} y+\frac{59}{70}=-\frac{\sqrt{1801}}{70}$$

Subtraher \frac{59}{70} fra begge sider af ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$