Løs 5x-2(x-1)(3-x)=11

$$5 x - 2 ( x - 1 ) ( 3 - x ) = 11$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 11 fra begge sider.

$$5x-2\left(x-1\right)\left(3-x\right)-11=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med x-1.

$$5x+\left(-2x+2\right)\left(3-x\right)-11=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2x+2 med 3-x, og kombiner ens led.

$$5x-8x+2x^{2}+6-11=0$$

Kombiner 5x og -8x for at få -3x.

$$-3x+2x^{2}+6-11=0$$

Subtraher 11 fra 6 for at få -5.

$$-3x+2x^{2}-5=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -3 med b og -5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Adder 9 til 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±7}{4} når ± er plus. Adder 3 til 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±7}{4} når ± er minus. Subtraher 7 fra 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Divider -4 med 4.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer -1 og 2 for at få -2.

$$5x-2\left(x-1\right)\left(3-x\right)=11$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med x-1.

$$5x+\left(-2x+2\right)\left(3-x\right)=11$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2x+2 med 3-x, og kombiner ens led.

$$5x-8x+2x^{2}+6=11$$

Kombiner 5x og -8x for at få -3x.

$$-3x+2x^{2}+6=11$$

Subtraher 6 fra begge sider.

$$-3x+2x^{2}=11-6$$

Subtraher 6 fra 11 for at få 5.

$$-3x+2x^{2}=5$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-3x=5$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Divider -\frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Føj \frac{5}{2} til \frac{9}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adder \frac{3}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$