Løs 5x^2-8x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 5x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-8 ab=5\times 3=15$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Løsningen er det par, der får summen -8.

$$a=-5 b=-3$$

Omskriv 5x^{2}-8x+3 som \left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Udfaktoriser 5x i den første og -3 i den anden gruppe.

$$5x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(5x-3\right)$$

Løs x-1=0 og 5x-3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -8 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 5}$$

Adder 64 til -60.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 5}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±2}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{8±2}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±2}{10} når ± er plus. Adder 8 til 2.

$$x=\frac{10}{10}$$

Divider 10 med 10.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±2}{10} når ± er minus. Subtraher 2 fra 8.

$$x=\frac{6}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-8x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-8x=-3$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Divider -\frac{8}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{4}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{4}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{4}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{16}{25}$$

Føj -\frac{3}{5} til \frac{16}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{1}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$$

Adder \frac{4}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$