Løs 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Løs for x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 24 fra begge sider.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 5x^{2}+ax+bx-24. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-15 b=8$$

Omskriv 5x^{2}-7x-24 som \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Ud5x i den første og 8 i den anden gruppe.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Løs x-3=0 og 5x+8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-7x=24$$

Subtraher 24 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Hvis 24 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -7 med b og -24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Adder 49 til 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±23}{10} når ± er plus. Adder 7 til 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Divider 30 med 10.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±23}{10} når ± er minus. Subtraher 23 fra 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-16}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-7x=24$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Divider -\frac{7}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Føj \frac{24}{5} til \frac{49}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Adder \frac{7}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$