Løs 5x^2-40x-45=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x - 45 = 0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=9$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 5.

$$x^{2}-8x-9=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-8 ab=1\left(-9\right)=-9$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -9.

$$1,-9 3,-3$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-9=-8 3-3=0$$

Løsningen er det par, der får summen -8.

$$a=-9 b=1$$

Omskriv x^{2}-8x-9 som \left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right)$$

Udfaktoriser x i x^{2}-9x.

$$x\left(x-9\right)+x-9$$

Udfaktoriser fællesleddet x-9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-9\right)\left(x+1\right)$$

Løs x-9=0 og x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=9 x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -40 med b og -45 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -45.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+900}}{2\times 5}$$

Adder 1600 til 900.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{2500}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 2500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±50}{2\times 5}$$

Det modsatte af -40 er 40.

$$x=\frac{40±50}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{40±50}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{40±50}{10} når ± er plus. Adder 40 til 50.

$$x=\frac{90}{10}$$

Divider 90 med 10.

$$x=9$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{40±50}{10} når ± er minus. Subtraher 50 fra 40.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Divider -10 med 10.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=9 x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Adder 45 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-40x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Hvis -45 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-40x=-\left(-45\right)$$

Subtraher -45 fra 0.

$$5x^{2}-40x=45$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=\frac{45}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=\frac{45}{5}$$

Divider -40 med 5.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{5}$$

Divider 45 med 5.

$$x^{2}-8x=9$$

Divider -8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -4. Adder derefter kvadratet af -4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrér -4.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Adder 9 til 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Faktor x^{2}-8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Forenkling.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$x=9 x=-1$$