Løs 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -40 med b og 85 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Kvadrér -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Adder 1600 til -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Det modsatte af -40 er 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{40±10i}{10} når ± er plus. Adder 40 til 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Divider 40+10i med 10.

$$x=4+i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{40±10i}{10} når ± er minus. Subtraher 10i fra 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Divider 40-10i med 10.

$$x=4-i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4+i x=4-i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Subtraher 85 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Hvis 85 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Divider -40 med 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Divider -85 med 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Divider -8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -4. Adder derefter kvadratet af -4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrér -4.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Adder -17 til 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Faktor x^{2}-8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Forenkling.

$$x-4=i x-4=-i$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$x=4+i x=4-i$$