Løs 5x^2-4x+7=53

$$5 x ^ { 2 } - 4 x + 7 = 53$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{26} + 2}{5} \approx 3,459411708$$

$$x=\frac{2-3\sqrt{26}}{5}\approx -2,659411708$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-4x+7=53$$

Subtraher 53 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-4x+7-53=53-53$$

Hvis 53 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-4x+7-53=0$$

Subtraher 53 fra 7.

$$5x^{2}-4x-46=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -4 med b og -46 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-46\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-46\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-46\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -46.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+920}}{2\times 5}$$

Adder 16 til 920.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{936}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 936.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6\sqrt{26}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±6\sqrt{26}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{4±6\sqrt{26}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±6\sqrt{26}}{10} når ± er plus. Adder 4 til 6\sqrt{26}.

$$x=\frac{6\sqrt{26}+4}{10}$$

Divider 4+6\sqrt{26} med 10.

$$x=\frac{3\sqrt{26}+2}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±6\sqrt{26}}{10} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{26} fra 4.

$$x=\frac{4-6\sqrt{26}}{10}$$

Divider 4-6\sqrt{26} med 10.

$$x=\frac{2-3\sqrt{26}}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3\sqrt{26}+2}{5} x=\frac{2-3\sqrt{26}}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-4x+7=53$$

Subtraher 7 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-4x+7-7=53-7$$

Hvis 7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-4x=53-7$$

Subtraher 7 fra 53.

$$5x^{2}-4x=46$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{46}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{46}{5}$$

Divider -\frac{4}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{46}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{46}{5}+\frac{4}{25}$$

Føj \frac{46}{5} til \frac{4}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{234}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{234}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{234}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3\sqrt{26}}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3\sqrt{26}}{5}$$

Adder \frac{2}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{26}+2}{5} x=\frac{2-3\sqrt{26}}{5}$$