Løs 5x^2-3x-9=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{21} + 3}{10} \approx 1,674772708$$

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}\approx -1,074772708$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-3x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -3 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+180}}{2\times 5}$$

Adder 9 til 180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{189}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 189.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} når ± er plus. Adder 3 til 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{21} fra 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-3x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-3x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-3x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$5x^{2}-3x=9$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{9}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{9}{5}$$

Divider -\frac{3}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{9}{5}+\frac{9}{100}$$

Føj \frac{9}{5} til \frac{9}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{189}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{189}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{189}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{3\sqrt{21}}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{3\sqrt{21}}{10}$$

Adder \frac{3}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$