Løs 5x^2-12x-9=0

$$5 x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 5x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-12 ab=5\left(-9\right)=-45$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -12.

$$a=-15 b=3$$

Omskriv 5x^{2}-12x-9 som \left(5x^{2}-15x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(3x-9\right)$$

Ud5x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$5x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(5x+3\right)$$

Løs x-3=0 og 5x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{3}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-12x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -12 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+180}}{2\times 5}$$

Adder 144 til 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±18}{2\times 5}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±18}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{12±18}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±18}{10} når ± er plus. Adder 12 til 18.

$$x=\frac{30}{10}$$

Divider 30 med 10.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±18}{10} når ± er minus. Subtraher 18 fra 12.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=-\frac{3}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-12x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$5x^{2}-12x=9$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{9}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{9}{5}$$

Divider -\frac{12}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{6}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{6}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{6}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{9}{5}+\frac{36}{25}$$

Føj \frac{9}{5} til \frac{36}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{9}{5}$$

Adder \frac{6}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-\frac{3}{5}$$