Løs 5x^2-12x+4=0

$$5 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 5x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-12 ab=5\times 4=20$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Løsningen er det par, der får summen -12.

$$a=-10 b=-2$$

Omskriv 5x^{2}-12x+4 som \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Udfaktoriser 5x i den første og -2 i den anden gruppe.

$$5x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Løs x-2=0 og 5x-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -12 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-80}}{2\times 5}$$

Adder 144 til -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{64}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 64.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8}{2\times 5}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±8}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{12±8}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±8}{10} når ± er plus. Adder 12 til 8.

$$x=\frac{20}{10}$$

Divider 20 med 10.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±8}{10} når ± er minus. Subtraher 8 fra 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-12x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-12x=-4$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Divider -\frac{12}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{6}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{6}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{6}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{4}{5}+\frac{36}{25}$$

Føj -\frac{4}{5} til \frac{36}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{16}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}$$

Adder \frac{6}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$