Løs 5x^2+x-7=0

$$5 x ^ { 2 } + x - 7 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{141} - 1}{10} \approx 1,087434209$$

$$x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}\approx -1,287434209$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+x-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 1 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+140}}{2\times 5}$$

Adder 1 til 140.

$$x=\frac{-1±\sqrt{141}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10} når ± er plus. Adder -1 til \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10} når ± er minus. Subtraher \sqrt{141} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10} x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+x-7=0$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Hvis -7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+x=-\left(-7\right)$$

Subtraher -7 fra 0.

$$5x^{2}+x=7$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{7}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{7}{5}$$

Divider \frac{1}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{10}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{7}{5}+\frac{1}{100}$$

Føj \frac{7}{5} til \frac{1}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{141}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Subtraher \frac{1}{10} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10} x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$