Løs 5x^2+8x-32=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x - 32 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{4 \sqrt{11} - 4}{5} \approx 1,853299832$$

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-4}{5}\approx -3,453299832$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+8x-32=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 8 med b og -32 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\left(-32\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\left(-32\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\left(-32\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -32.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+640}}{2\times 5}$$

Adder 64 til 640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{704}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 704.

$$x=\frac{-8±8\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-8±8\sqrt{11}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±8\sqrt{11}}{10} når ± er plus. Adder -8 til 8\sqrt{11}.

$$x=\frac{8\sqrt{11}-8}{10}$$

Divider -8+8\sqrt{11} med 10.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-4}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±8\sqrt{11}}{10} når ± er minus. Subtraher 8\sqrt{11} fra -8.

$$x=\frac{-8\sqrt{11}-8}{10}$$

Divider -8-8\sqrt{11} med 10.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-4}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-4\sqrt{11}-4}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+8x-32=0$$

Adder 32 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+8x-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

Hvis -32 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+8x=-\left(-32\right)$$

Subtraher -32 fra 0.

$$5x^{2}+8x=32$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=\frac{32}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{32}{5}$$

Divider \frac{8}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{4}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{4}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{32}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{4}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{32}{5}+\frac{16}{25}$$

Føj \frac{32}{5} til \frac{16}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{176}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{176}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{176}{25}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{4\sqrt{11}}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{4\sqrt{11}}{5}$$

Subtraher \frac{4}{5} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-4\sqrt{11}-4}{5}$$