Løs 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Løs for x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-15. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -15.

$$-1,15 -3,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Løsningen er det par, der får summen 14.

$$a=-1 b=15$$

Omskriv x^{2}+14x-15 som \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Udx i den første og 15 i den anden gruppe.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Løs x-1=0 og x+15=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-15$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 70 med b og -75 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Adder 4900 til 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-70±80}{10} når ± er plus. Adder -70 til 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Divider 10 med 10.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-70±80}{10} når ± er minus. Subtraher 80 fra -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Divider -150 med 10.

$$x=-15$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=-15$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Adder 75 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Hvis -75 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Subtraher -75 fra 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Divider 70 med 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Divider 75 med 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Divider 14, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 7. Adder derefter kvadratet af 7 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Kvadrér 7.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Adder 15 til 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Faktor x^{2}+14x+49. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Forenkling.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Subtraher 7 fra begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-15$$