Løs 5x^2+60x+180=0

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

Løs for x

$$x=-6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 5.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+36. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Løsningen er det par, der får summen 12.

$$a=6 b=6$$

Omskriv x^{2}+12x+36 som \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

Udx i den første og 6 i den anden gruppe.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x+6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse x+6=0.

$$x=-6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 60 med b og 180 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Kvadrér 60.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

Adder 3600 til -3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Divider -60 med 10.

$$x=-6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Subtraher 180 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

Hvis 180 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+60x=-180$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

Divider 60 med 5.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

Divider -180 med 5.

$$x^{2}+12x=-36$$

Divider 12, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 6. Adder derefter kvadratet af 6 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

Kvadrér 6.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

Adder -36 til 36.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Faktor x^{2}+12x+36. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x+6=0 x+6=0$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$x=-6 x=-6$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=-6$$