Løs 5x^2+6x-1=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}\approx 0,148331477$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}\approx -1,348331477$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+6x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 6 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+20}}{2\times 5}$$

Adder 36 til 20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{56}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 56.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10} når ± er plus. Adder -6 til 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}-6}{10}$$

Divider -6+2\sqrt{14} med 10.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{14} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}-6}{10}$$

Divider -6-2\sqrt{14} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+6x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+6x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+6x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$5x^{2}+6x=1$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{1}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{1}{5}$$

Divider \frac{6}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

Føj \frac{1}{5} til \frac{9}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{14}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{14}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{25}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{14}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{14}}{5}$$

Subtraher \frac{3}{5} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$