Løs 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 6 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Adder 36 til -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} når ± er plus. Adder -6 til 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Divider -6+2i\sqrt{41} med 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{41} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Divider -6-2i\sqrt{41} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Subtraher 10 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Hvis 10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Divider -10 med 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Divider \frac{6}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Adder -2 til \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Subtraher \frac{3}{5} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$