Løs 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0,4+0,663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0,4-0,663324958i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 4 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

Adder 16 til -60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} når ± er plus. Adder -4 til 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

Divider -4+2i\sqrt{11} med 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{11} fra -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

Divider -4-2i\sqrt{11} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+4x=-3$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Divider \frac{4}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{2}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Føj -\frac{3}{5} til \frac{4}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

Subtraher \frac{2}{5} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$