Løs 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 3 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Adder 9 til -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} når ± er plus. Adder -3 til i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{11} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Divider \frac{3}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{10}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Føj -\frac{1}{5} til \frac{9}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Subtraher \frac{3}{10} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$