Løs 5x^2+25x-10=0

$$5 x ^ { 2 } + 25 x - 10 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}\approx 0,372281323$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}\approx -5,372281323$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+25x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 25 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -10.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+200}}{2\times 5}$$

Adder 625 til 200.

$$x=\frac{-25±\sqrt{825}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 825.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} når ± er plus. Adder -25 til 5\sqrt{33}.

$$x=\frac{5\sqrt{33}-25}{10}$$

Divider -25+5\sqrt{33} med 10.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} når ± er minus. Subtraher 5\sqrt{33} fra -25.

$$x=\frac{-5\sqrt{33}-25}{10}$$

Divider -25-5\sqrt{33} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+25x-10=0$$

Adder 10 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+25x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Hvis -10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+25x=-\left(-10\right)$$

Subtraher -10 fra 0.

$$5x^{2}+25x=10$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+25x}{5}=\frac{10}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{25}{5}x=\frac{10}{5}$$

Divider 25 med 5.

$$x^{2}+5x=\frac{10}{5}$$

Divider 10 med 5.

$$x^{2}+5x=2$$

Divider 5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=2+\frac{25}{4}$$

Adder 2 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{33}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Subtraher \frac{5}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$