Løs 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 5x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Løsningen er det par, der får summen 21.

$$a=1 b=20$$

Omskriv 5x^{2}+21x+4 som \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Udx i den første og 4 i den anden gruppe.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 5x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Løs 5x+1=0 og x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 21 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Kvadrér 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Adder 441 til -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-21±19}{10} når ± er plus. Adder -21 til 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-21±19}{10} når ± er minus. Subtraher 19 fra -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Divider -40 med 10.

$$x=-4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Divider \frac{21}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{21}{10}. Adder derefter kvadratet af \frac{21}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{21}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Føj -\frac{4}{5} til \frac{441}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Subtraher \frac{21}{10} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$