Løs 5x^2+18x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 18 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}\approx -0,056440423$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}\approx -3,543559577$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 18 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kvadrér 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-20}}{2\times 5}$$

Adder 324 til -20.

$$x=\frac{-18±\sqrt{304}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 304.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} når ± er plus. Adder -18 til 4\sqrt{19}.

$$x=\frac{4\sqrt{19}-18}{10}$$

Divider -18+4\sqrt{19} med 10.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{19} fra -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}-18}{10}$$

Divider -18-4\sqrt{19} med 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+18x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+18x=-1$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+18x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Divider \frac{18}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{9}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{9}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{9}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{81}{25}$$

Føj -\frac{1}{5} til \frac{81}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{76}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{76}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{76}{25}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{9}{5}=\frac{2\sqrt{19}}{5} x+\frac{9}{5}=-\frac{2\sqrt{19}}{5}$$

Subtraher \frac{9}{5} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$