Løs 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Løs for t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -72 med b og -108 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Adder 5184 til 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -72 er 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} når ± er plus. Adder 72 til 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Divider 72+12\sqrt{51} med 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} når ± er minus. Subtraher 12\sqrt{51} fra 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Divider 72-12\sqrt{51} med 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Adder 108 på begge sider af ligningen.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Hvis -108 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Subtraher -108 fra 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Divider -\frac{72}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{36}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{36}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{36}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Føj \frac{108}{5} til \frac{1296}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Faktor t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Adder \frac{36}{5} på begge sider af ligningen.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$