Løs 5t^2-4t+9=0

$$5 t ^ { 2 } - 4 t + 9 = 0$$

Løs for t

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5}\approx 0,4+1,280624847i$$

$$t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}\approx 0,4-1,280624847i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5t^{2}-4t+9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -4 med b og 9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Kvadrér -4.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 9.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-180}}{2\times 5}$$

Adder 16 til -180.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -164.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{10} når ± er plus. Adder 4 til 2i\sqrt{41}.

$$t=\frac{4+2\sqrt{41}i}{10}$$

Divider 4+2i\sqrt{41} med 10.

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{10} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{41} fra 4.

$$t=\frac{-2\sqrt{41}i+4}{10}$$

Divider 4-2i\sqrt{41} med 10.

$$t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5} t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5t^{2}-4t+9=0$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$5t^{2}-4t+9-9=-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5t^{2}-4t=-9$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5t^{2}-4t}{5}=-\frac{9}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t=-\frac{9}{5}$$

Divider -\frac{4}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t+\frac{4}{25}=-\frac{9}{5}+\frac{4}{25}$$

Føj -\frac{9}{5} til \frac{4}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t+\frac{4}{25}=-\frac{41}{25}$$

Faktor t^{2}-\frac{4}{5}t+\frac{4}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} t-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Adder \frac{2}{5} på begge sider af ligningen.

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5} t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}$$