Løs 5m^2-14m-15=0

$$5 m ^ { 2 } - 14 m - 15 = 0$$

Løs for m

$$m = \frac{2 \sqrt{31} + 7}{5} \approx 3,627105745$$

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}\approx -0,827105745$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -14 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -14.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -15.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+300}}{2\times 5}$$

Adder 196 til 300.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{496}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 496.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10} når ± er plus. Adder 14 til 4\sqrt{31}.

$$m=\frac{4\sqrt{31}+14}{10}$$

Divider 14+4\sqrt{31} med 10.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{31} fra 14.

$$m=\frac{14-4\sqrt{31}}{10}$$

Divider 14-4\sqrt{31} med 10.

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Adder 15 på begge sider af ligningen.

$$5m^{2}-14m-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Hvis -15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5m^{2}-14m=-\left(-15\right)$$

Subtraher -15 fra 0.

$$5m^{2}-14m=15$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5m^{2}-14m}{5}=\frac{15}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=\frac{15}{5}$$

Divider 15 med 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=3$$

Divider -\frac{14}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=3+\frac{49}{25}$$

Adder 3 til \frac{49}{25}.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=\frac{124}{25}$$

Faktor m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{124}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{25}}$$

Forenkling.

$$m-\frac{7}{5}=\frac{2\sqrt{31}}{5} m-\frac{7}{5}=-\frac{2\sqrt{31}}{5}$$

Adder \frac{7}{5} på begge sider af ligningen.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$