Løs 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Løs for y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -90 med b og 54 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Kvadrér -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Adder 8100 til -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -90 er 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} når ± er plus. Adder 90 til 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Divider 90+6\sqrt{195} med 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{195} fra 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Divider 90-6\sqrt{195} med 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Subtraher 54 fra begge sider af ligningen.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Hvis 54 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Divider -90 med 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Divider -18, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -9. Adder derefter kvadratet af -9 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Kvadrér -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Adder -\frac{54}{5} til 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Faktor y^{2}-18y+81. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Forenkling.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$