Løs 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0,4+0,916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0,4-0,916515139i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -4 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

Adder 16 til -100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} når ± er plus. Adder 4 til 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

Divider 4+2i\sqrt{21} med 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{21} fra 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

Divider 4-2i\sqrt{21} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-4x=-5$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Divider -5 med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

Divider -\frac{4}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

Adder -1 til \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

Adder \frac{2}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$