Løs 5x^2-4x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+10 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}\approx 0,4+1,356465997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}\approx 0,4-1,356465997i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -4 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 10.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}$$

Adder 16 til -200.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -184.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} når ± er plus. Adder 4 til 2i\sqrt{46}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}$$

Divider 4+2i\sqrt{46} med 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{46} fra 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}$$

Divider 4-2i\sqrt{46} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Subtraher 10 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-4x+10-10=-10$$

Hvis 10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-4x=-10$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Divider -10 med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-2$$

Divider -\frac{4}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}$$

Adder -2 til \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}$$

Adder \frac{2}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$