Løs 5x^2-48x+20=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9,163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0,436515154$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -48 med b og 20 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Kvadrér -48.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

Adder 2304 til -400.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 1904.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -48 er 48.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} når ± er plus. Adder 48 til 4\sqrt{119}.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

Divider 48+4\sqrt{119} med 10.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{119} fra 48.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

Divider 48-4\sqrt{119} med 10.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Subtraher 20 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

Hvis 20 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-48x=-20$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

Divider -20 med 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

Divider -\frac{48}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{24}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{24}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{24}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

Adder -4 til \frac{576}{25}.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

Adder \frac{24}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$