Løs 5x^2-2x+15=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0,2+1,720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0,2-1,720465053i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -2 med b og 15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

Adder 4 til -300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -296.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} når ± er plus. Adder 2 til 2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

Divider 2+2i\sqrt{74} med 10.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{74} fra 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

Divider 2-2i\sqrt{74} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

Hvis 15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-2x=-15$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

Divider -15 med 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

Divider -\frac{2}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

Adder -3 til \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

Adder \frac{1}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$