Løs 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 5x^{2}+ax+bx-42. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -29.

$$a=-35 b=6$$

Omskriv 5x^{2}-29x-42 som \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Ud5x i den første og 6 i den anden gruppe.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Løs x-7=0 og 5x+6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -29 med b og -42 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Adder 841 til 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Det modsatte af -29 er 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{29±41}{10} når ± er plus. Adder 29 til 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Divider 70 med 10.

$$x=7$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{29±41}{10} når ± er minus. Subtraher 41 fra 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Adder 42 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Hvis -42 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Subtraher -42 fra 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Divider -\frac{29}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{29}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{29}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{29}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Føj \frac{42}{5} til \frac{841}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Adder \frac{29}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$