Løs 5x^2-25x-12=0

$$5 { x }^{ 2 } -25x-12=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx 5,441088234$$

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx -0,441088234$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -25 med b og -12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -25.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -12.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+240}}{2\times 5}$$

Adder 625 til 240.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -25 er 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{25±\sqrt{865}}{10} når ± er plus. Adder 25 til \sqrt{865}.

$$x=\frac{\sqrt{865}+25}{10}$$

Divider 25+\sqrt{865} med 10.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{25±\sqrt{865}}{10} når ± er minus. Subtraher \sqrt{865} fra 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{865}}{10}$$

Divider 25-\sqrt{865} med 10.

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Adder 12 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-25x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Hvis -12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-25x=-\left(-12\right)$$

Subtraher -12 fra 0.

$$5x^{2}-25x=12$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-25x}{5}=\frac{12}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{25}{5}\right)x=\frac{12}{5}$$

Divider -25 med 5.

$$x^{2}-5x=\frac{12}{5}$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{12}{5}+\frac{25}{4}$$

Føj \frac{12}{5} til \frac{25}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{173}{20}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{173}{20}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{173}{20}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{865}}{10} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{865}}{10}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$