Løs 5x^2-13x+7=0

$$5 { x }^{ 2 } -13x+7=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{29} + 13}{10} \approx 1,838516481$$

$$x=\frac{13-\sqrt{29}}{10}\approx 0,761483519$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-13x+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -13 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Kvadrér -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-20\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-140}}{2\times 5}$$

Adder 169 til -140.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{29}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -13 er 13.

$$x=\frac{13±\sqrt{29}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{13±\sqrt{29}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{13±\sqrt{29}}{10} når ± er plus. Adder 13 til \sqrt{29}.

$$x=\frac{\sqrt{29}+13}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{13±\sqrt{29}}{10} når ± er minus. Subtraher \sqrt{29} fra 13.

$$x=\frac{13-\sqrt{29}}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{29}+13}{10} x=\frac{13-\sqrt{29}}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-13x+7=0$$

Subtraher 7 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-13x+7-7=-7$$

Hvis 7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-13x=-7$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-13x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{13}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Divider -\frac{13}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{13}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{13}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{5}x+\left(-\frac{13}{10}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(-\frac{13}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{13}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{13}{5}x+\frac{169}{100}=-\frac{7}{5}+\frac{169}{100}$$

Føj -\frac{7}{5} til \frac{169}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{13}{5}x+\frac{169}{100}=\frac{29}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{5}x+\frac{169}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{13}{10}\right)^{2}=\frac{29}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{13}{10}=\frac{\sqrt{29}}{10} x-\frac{13}{10}=-\frac{\sqrt{29}}{10}$$

Adder \frac{13}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{29}+13}{10} x=\frac{13-\sqrt{29}}{10}$$