Løs 5x^2-10x-15=0

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 5.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-3 b=1$$

Omskriv x^{2}-2x-3 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser x i x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Løs x-3=0 og x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -10 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Adder 100 til 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±20}{10} når ± er plus. Adder 10 til 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

Divider 30 med 10.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±20}{10} når ± er minus. Subtraher 20 fra 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Divider -10 med 10.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Adder 15 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Hvis -15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

Subtraher -15 fra 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

Divider -10 med 5.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

Divider 15 med 5.

$$x^{2}-2x=3$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Adder 3 til 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkling.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-1$$