Løs 5x^2+3x+2=0

$$5 { x }^{ 2 } +3x+2=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{10}\approx -0,3+0,556776436i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{10}\approx -0,3-0,556776436i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+3x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 3 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\times 2}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-40}}{2\times 5}$$

Adder 9 til -40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-31}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -31.

$$x=\frac{-3±\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{31}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{31}i}{10} når ± er plus. Adder -3 til i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{31}i}{10} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{31} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{10} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+3x+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+3x+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+3x=-2$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{2}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{2}{5}$$

Divider \frac{3}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{10}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Føj -\frac{2}{5} til \frac{9}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{31}{100}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{31}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{100}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{31}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{31}i}{10}$$

Subtraher \frac{3}{10} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{10} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{10}$$