Løs 5x^2+10x-20=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-20=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 10 med b og -20 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -20.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+400}}{2\times 5}$$

Adder 100 til 400.

$$x=\frac{-10±\sqrt{500}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 500.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10} når ± er plus. Adder -10 til 10\sqrt{5}.

$$x=\frac{10\sqrt{5}-10}{10}$$

Divider -10+10\sqrt{5} med 10.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10} når ± er minus. Subtraher 10\sqrt{5} fra -10.

$$x=\frac{-10\sqrt{5}-10}{10}$$

Divider -10-10\sqrt{5} med 10.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Adder 20 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+10x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Hvis -20 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-20\right)$$

Subtraher -20 fra 0.

$$5x^{2}+10x=20$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{20}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{20}{5}$$

Divider 10 med 5.

$$x^{2}+2x=\frac{20}{5}$$

Divider 20 med 5.

$$x^{2}+2x=4$$

Divider 2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 1. Adder derefter kvadratet af 1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Kvadrér 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Adder 4 til 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Forenkling.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Løs for x

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 10 med b og -20 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -20.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+400}}{2\times 5}$$

Adder 100 til 400.

$$x=\frac{-10±\sqrt{500}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 500.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10} når ± er plus. Adder -10 til 10\sqrt{5}.

$$x=\frac{10\sqrt{5}-10}{10}$$

Divider -10+10\sqrt{5} med 10.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10} når ± er minus. Subtraher 10\sqrt{5} fra -10.

$$x=\frac{-10\sqrt{5}-10}{10}$$

Divider -10-10\sqrt{5} med 10.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Adder 20 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+10x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Hvis -20 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-20\right)$$

Subtraher -20 fra 0.

$$5x^{2}+10x=20$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{20}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{20}{5}$$

Divider 10 med 5.

$$x^{2}+2x=\frac{20}{5}$$

Divider 20 med 5.

$$x^{2}+2x=4$$

Divider 2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 1. Adder derefter kvadratet af 1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Kvadrér 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Adder 4 til 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Forenkling.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$