Løs 49x^2-70x+25=0

$$49 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{5}{7}\approx 0,714285714$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$49x^{2}-70x+25=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 49 med a, -70 med b og 25 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Kvadrér -70.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Multiplicer -4 gange 49.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Multiplicer -196 gange 25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4900}}{2\times 49}$$

Adder 4900 til -4900.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-70}{2\times 49}$$

Det modsatte af -70 er 70.

$$x=\frac{70}{2\times 49}$$

Multiplicer 2 gange 49.

$$x=\frac{70}{98}$$

Reducer fraktionen \frac{70}{98} til de laveste led ved at udtrække og annullere 14.

$$x=\frac{5}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$49x^{2}-70x+25=0$$

Subtraher 25 fra begge sider af ligningen.

$$49x^{2}-70x+25-25=-25$$

Hvis 25 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$49x^{2}-70x=-25$$

Divider begge sider med 49.

$$\frac{49x^{2}-70x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Division med 49 annullerer multiplikationen med 49.

$$x^{2}+\left(-\frac{70}{49}\right)x=-\frac{25}{49}$$

Reducer fraktionen \frac{-70}{49} til de laveste led ved at udtrække og annullere 7.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x=-\frac{25}{49}$$

Divider -\frac{10}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{7}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{-25+25}{49}$$

Føj -\frac{25}{49} til \frac{25}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{7}=0 x-\frac{5}{7}=0$$

Adder \frac{5}{7} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{7} x=\frac{5}{7}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=\frac{5}{7}$$