Løs 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 49 med a, 30 med b og 25 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Kvadrér 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Multiplicer -4 gange 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Multiplicer -196 gange 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Adder 900 til -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Tag kvadratroden af -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Multiplicer 2 gange 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} når ± er plus. Adder -30 til 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Divider -30+20i\sqrt{10} med 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} når ± er minus. Subtraher 20i\sqrt{10} fra -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Divider -30-20i\sqrt{10} med 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Subtraher 25 fra begge sider af ligningen.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Hvis 25 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Divider begge sider med 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Division med 49 annullerer multiplikationen med 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Divider \frac{30}{49}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{15}{49}. Adder derefter kvadratet af \frac{15}{49} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{15}{49} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Føj -\frac{25}{49} til \frac{225}{2401} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Faktor x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Subtraher \frac{15}{49} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$