Løs 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Løs for t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som t^{2}+at+bt-4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -4.

$$1,-4 2,-2$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Løsningen er det par, der får summen -3.

$$a=-4 b=1$$

Omskriv t^{2}-3t-4 som \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Udfaktoriser t i t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Udfaktoriser fællesleddet t-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Løs t-4=0 og t+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$t=4 t=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 49 med a, -147 med b og -196 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Kvadrér -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplicer -4 gange 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplicer -196 gange -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Adder 21609 til 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Tag kvadratroden af 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

Det modsatte af -147 er 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Multiplicer 2 gange 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{147±245}{98} når ± er plus. Adder 147 til 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Divider 392 med 98.

$$t=4$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{147±245}{98} når ± er minus. Subtraher 245 fra 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Divider -98 med 98.

$$t=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$t=4 t=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Adder 196 på begge sider af ligningen.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Hvis -196 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Subtraher -196 fra 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Divider begge sider med 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Division med 49 annullerer multiplikationen med 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Divider -147 med 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Divider 196 med 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Adder 4 til \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$t=4 t=-1$$