Løs 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 42x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-14 b=9$$

Omskriv 42x^{2}-5x-3 som \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Ud14x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Løs 3x-1=0 og 14x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 42 med a, -5 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplicer -4 gange 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplicer -168 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Adder 25 til 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Tag kvadratroden af 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Multiplicer 2 gange 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±23}{84} når ± er plus. Adder 5 til 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Reducer fraktionen \frac{28}{84} til de laveste led ved at udtrække og annullere 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±23}{84} når ± er minus. Subtraher 23 fra 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{84} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Divider begge sider med 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Division med 42 annullerer multiplikationen med 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Reducer fraktionen \frac{3}{42} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Divider -\frac{5}{42}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{84}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{84} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{84} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Føj \frac{1}{14} til \frac{25}{7056} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Adder \frac{5}{84} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$