Løs 419x^2-918x+459=0

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1,418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0,772078574$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 419 med a, -918 med b og 459 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Kvadrér -918.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Multiplicer -4 gange 419.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

Multiplicer -1676 gange 459.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

Adder 842724 til -769284.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

Tag kvadratroden af 73440.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Det modsatte af -918 er 918.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Multiplicer 2 gange 419.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} når ± er plus. Adder 918 til 12\sqrt{510}.

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

Divider 918+12\sqrt{510} med 838.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} når ± er minus. Subtraher 12\sqrt{510} fra 918.

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

Divider 918-12\sqrt{510} med 838.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Subtraher 459 fra begge sider af ligningen.

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

Hvis 459 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$419x^{2}-918x=-459$$

Divider begge sider med 419.

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

Division med 419 annullerer multiplikationen med 419.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

Divider -\frac{918}{419}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{459}{419}. Adder derefter kvadratet af -\frac{459}{419} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{459}{419} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

Føj -\frac{459}{419} til \frac{210681}{175561} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

Faktor x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

Adder \frac{459}{419} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$